Заниматься автоспортом Левятов начал ещё в Московском городском совете ВДОАМ. Уже тогда Игорь Давидович не только сам выступал в соревнованиях, но и придумывал различные варианты любительского ралли, участвовал в организации знаменитого всесоюзного ралли «Память».

Перейдя на работу в ЦАМК ДОСААФ СССР, Левятов много лет был старшим тренером сборной команды СССР и РСФСР по ралли вместе с легендарным Анатолием Брумом. Выезжал за рубеж в качестве тренера советской сборной. Отвечал за проведение соревнований по ралли в Российской Федерации, республиках Средней Азии, а также в рамках Спартакиады народов СССР по техническим видам спорта.

В самые непростые годы становления Новой России Левятов возглавил Комитет ралли РАФ, и долгое время руководил развитием этой дисциплины. Под его руководством российское ралли успешно пережило сложные времена 90-х и воспитало множество пилотов, которые начали победные выступления за рубежом. Ему первому принадлежала идея страхования спортсменов, с которой он выступал ещё в 1996 году. При нём в РАФ были приняты правила ралли, соответствующие регламентации ФИА.

Последние годы Игорь Давидович принимал участие в работе комитета ралли и судействе соревнований в качестве спортивного комиссара и Наблюдателя РАФ, а также занимался разработкой нового варианта правил любительского ралли.

В нашей памяти он останется добрым, отзывчивым и улыбчивым человеком, готовым в любую минуту прийти на помощь